La integral indefinida. Cálculo de integrales indefinidas

Una de las secciones fundamentales de matemática.El análisis es un cálculo integral. Cubre el campo de objetos más amplio, donde el primero es una integral indefinida. Vale la pena posicionarlo como una clave que, incluso en la escuela secundaria, revela un número creciente de perspectivas y oportunidades que describen las matemáticas superiores.

Apariencia

A primera vista, la integral parece ser completamenteModerno, relevante, pero en la práctica resulta que apareció en 1800 AC. La patria se considera oficialmente Egipto, porque no nos llegaron las pruebas anteriores de su existencia. Debido a la falta de información, todo este tiempo se ha posicionado simplemente como un fenómeno. Una vez más confirmó el nivel de desarrollo de la ciencia entre los pueblos de aquellos tiempos. Finalmente, se encontraron las obras de antiguos matemáticos griegos, que datan del siglo IV aC, se encontraron. Describieron un método donde se usaba una integral indefinida, cuya esencia era encontrar el volumen o el área de una figura curvilínea (planos tridimensionales y bidimensionales, respectivamente). El principio de cálculo se basó en dividir la figura original en componentes infinitesimales, siempre que el volumen (área) de ellos ya sea conocido. Con el tiempo, el método se expandió, Arquímedes lo utilizó para buscar el área de una parábola. Al mismo tiempo, científicos de la antigua China realizaron cálculos similares y fueron completamente independientes de los científicos griegos.

Desarrollo

El siguiente avance en el siglo XI ya era AD.el trabajo del científico universal árabe Abu Ali al-Basri, que amplió los límites de lo que ya se sabía, derivó fórmulas basadas en la integral para calcular las sumas de series y sumas de grados del primero al cuarto, utilizando el método de inducción matemática que conocemos.

Las mentes de los tiempos modernos admiran cómo los antiguosLos egipcios crearon asombrosos monumentos de arquitectura, no teniendo adaptaciones especiales, excepto quizás sus manos, pero ¿no es el poder de la mente de los científicos de ese tiempo no un milagro menor? En comparación con el presente, su vida parece casi primitiva, pero la solución de integrales indefinidas se derivó en todas partes y se usó en la práctica para un mayor desarrollo.

El siguiente paso ocurrió en el siglo XVI, cuandoEl matemático italiano Cavalieri derivó el método indivisible que Pierre Fermat tomó. Son estas dos personalidades las que sentaron las bases para el cálculo integral moderno, que se conoce actualmente. Vincularon los conceptos de diferenciación e integración, que antes se percibían como unidades autónomas. En general, las matemáticas de esos tiempos estaban fragmentadas, las partículas de conclusiones existían por sí mismas y tenían un alcance limitado. El camino de combinar y buscar puntos de contacto fue el único correcto en ese momento; gracias a él, el análisis matemático moderno pudo crecer y desarrollarse.

Con el tiempo, todo cambió, y la designación.Integral incluido. En general, fue designado por científicos que estaban en eso, por ejemplo, Newton usó un icono cuadrado en el que colocó una función integrable o simplemente la juntó.

Esta discordia duró hasta el siglo XVII,cuando Gottfried Leibnitz, un signo para toda la teoría del análisis matemático, introdujo el símbolo tan familiar para nosotros. Una "S" alargada realmente se basa en esta letra del alfabeto latino, ya que denota la suma de antiderivadas. El nombre de la integral fue debido a Jacob Bernoulli después de 15 años.

Definición formal

La integral indefinida depende directamente de la definición de primitiva, por lo que la consideraremos primero.

Antiderivada es la función inversa.derivado, en la práctica también se le llama primitivo. De lo contrario: la primitiva de la función d es una función D, cuya derivada es igual a v <=> V "= v. La búsqueda de primitiva es el cálculo de una integral indefinida, y este proceso se denomina integración.

Ejemplo:

Función s (y) = y³y su antiderivada S (y) = (y⁴/ 4).

El conjunto de todas las antiderivadas de la función en cuestión es la integral indefinida, indicada como sigue: followsv (x) dx.

En virtud del hecho de que V (x) es sólo un pocoprimitiva de la función original, la siguiente expresión sostiene: ∫v (x) dx = V (x) + C, donde C es una constante. Por una constante arbitraria entendemos cualquier constante, ya que su derivada es cero.

Propiedades

Las propiedades que posee la integral indefinida se basan en la definición básica y las propiedades de los derivados.

Considere los puntos clave:

• la integral de la derivada de una primitiva es la propia primitiva más una constante arbitraria C <=> ∫V "(x) dx = V (x) + C;
• la derivada de la integral de la función es la función original <=> (∫v (x) dx) "= v (x);
• la constante se saca de debajo del signo de la integral <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, donde k es arbitrario;
• la integral que se toma de la suma es idéntica a la suma de las integrales <=> (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

De las dos últimas propiedades, podemos concluir que la integral indefinida es lineal. Debido a esto, tenemos: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + 1w (y) dy.

Para consolidar, considere ejemplos de resolución de integrales indefinidas.

Es necesario encontrar la integral (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + 4cosxdx = 3∫inxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Del ejemplo podemos concluir: ¿no sabes cómo resolver integrales indefinidas? ¡Sólo encuentra todos los primitivos! Pero mira los principios de la búsqueda de abajo.

Métodos y ejemplos.

Para resolver la integral, puedes recurrir a los siguientes métodos:

• usar la mesa terminada;
• integrar en partes;
• integrar reemplazando la variable;
• Resumiendo el signo diferencial.

Tablas

La forma más fácil y placentera. En este momento, el análisis matemático puede presumir de tablas bastante extensas, que contienen las fórmulas básicas de las integrales indefinidas. En otras palabras, hay patrones derivados para ti y para ti, solo queda utilizarlos. Aquí hay una lista de las posiciones principales de la tabla en las que puede mostrar casi todos los ejemplos que tienen una solución:

• ∫0dy = C, donde C es una constante;
• ∫dy = y + C, donde C es una constante;
• ∫yⁿdy = (y^{n + 1}) / (n + 1) + C, donde C es una constante, y n es un número distinto de uno;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, donde C es una constante;
• ∫e^ydy = e^y + C, donde C es una constante;
• ∫k^ydy = (k^y/ ln k) + C, donde C es una constante;
• ∫cosydy = siny + C, donde C es una constante;
• Inysinydy = -cosy + C, donde C es una constante;
• ∫dy / cos²y = tgy + C, donde C es una constante;
• Dy / sin²y = -ctgy + C, donde C es una constante;
• ∫dy / (1 + y²) = arctgy + C, donde C es una constante;
• ∫chydy = shy + C, donde C es una constante;
• ∫shydy = chy + C, donde C es una constante.

Si es necesario, tome un par de pasos, lleve el integrando a la vista de tabla y disfrute de la victoria. Ejemplo: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Por la decisión queda claro que para el ejemplo de la tabla el integrando carece de un factor de 5. Lo agregamos, en paralelo con esta multiplicación por 1/5 para que la expresión general no cambie.

Integración en partes

Considere dos funciones: z (y) y x (y). Deben ser continuamente diferenciables en todo el dominio. Por una de las propiedades de diferenciación, tenemos: d (xz) = xdz + zdx. Integrando ambos lados de la igualdad, obtenemos: ∫d (xz) = (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Al reescribir la igualdad obtenida, obtenemos una fórmula que describe el método de integración en partes: ∫zdx = zx - ∫xdz.

¿Por qué es necesario? El hecho es que algunos ejemplos se pueden simplificar, relativamente hablando, para reducir естиzdx a ∫xdz, si este último está cerca de la forma tabular. Además, esta fórmula se puede aplicar más de una vez, logrando resultados óptimos.

Cómo resolver integrales indefinidas de esta manera:

• necesidad de calcular ∫ (s + 1) e^2sds

∫ (x + 1) e^2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e^2s, dy = e^2xds} = ((s + 1) e^2s) / 2-1 / 2∫e^2sdx = ((s + 1) e^2s) / 2-e^2s/ 4 + C;

• necesidad de calcular lnsds

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - хs x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Reemplazo variable

Este principio de resolver integrales indefinidas no esMenos demanda que las dos anteriores, aunque más difícil. El método es el siguiente: sea V (x) la integral de alguna función v (x). En el caso de que la propia integral en el ejemplo se encuentre con un compuesto, es probable que se confunda y tome el camino de decisión equivocado. Para evitar esto, se practica la transición de la variable xz a la z, en la cual la expresión general se simplifica visualmente mientras se mantiene la dependencia de z en x.

En lenguaje matemático, se ve así: ∫v (x) dx = v (y (z)) y "(z) dz = V (z) = V (y^-1(x)), donde x = y (z) es una permutación. Y, por supuesto, la función inversa z = y^-1(x) describe completamente la dependencia yInterrelación de variables. Una nota importante es que el dx diferencial se reemplaza necesariamente por un nuevo dz diferencial, ya que reemplazar una variable en una integral indefinida implica reemplazarla con una variable en todas partes, y no solo en el integrando.

Ejemplo:

• Necesito encontrar ∫ (s + 1) / (s² + 2s - 5) ds

Aplicar la sustitución z = (s + 1) / (s²+ 2s-5). Entonces dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Como resultado, obtenemos la siguiente expresión, que es muy fácil de calcular:

∫ (s + 1) / (s²+ 2s-5) ds = (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s²+ 2s-5 | + C;

• Es necesario encontrar la integral 2.^se^sdx

Para resolver, reescriba la expresión en la siguiente forma:

∫2^se^sds = ∫ (2e)^sds.

Denotado por a = 2e (este paso no es un sustituto del argumento, todavía es s), traemos nuestra integral aparentemente compleja a la forma tabular elemental:

∫ (2e)^sds = ∫a^sds = a^s / lna + C = (2e)^s / ln (2e) + C = 2^se^s / ln (2 + lne) + C = 2^se^s / (ln2 + 1) + C.

Signo diferencial

En general, este método de integrales indefinidas es el hermano gemelo del principio de reemplazo variable, sin embargo, existen diferencias en el proceso de diseño. Consideremos con más detalle.

Si ∫v (x) dx = V (x) + C y y = z (x), entonces ∫v (y) dy = V (y) + C.

Además, no se pueden olvidar transformaciones integrales triviales, entre las que se encuentran:

• dx = d (x + a), donde a es cualquier constante;
• dx = (1 / a) d (ax + b), donde a es nuevamente una constante, pero no es igual a cero;
• xdx = 1 / 2d (x² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Si consideramos el caso general al calcular la integral indefinida, los ejemplos se pueden resumir bajo la fórmula general w "(x) dx = dw (x).

Ejemplos:

• Necesito encontrar ∫ (2s + 3)²ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3)²ds = 1 / 2∫ (2s + 3)²d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3)²) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3)² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Ayuda en linea

En algunos casos, la culpa puede sero la pereza, o la necesidad urgente, puede usar los consejos en línea, o más bien, usar la calculadora de integrales indefinidas. A pesar de toda la aparente complejidad y controversia de las integrales, su solución está sujeta a un cierto algoritmo, que se basa en el principio "si no ... entonces ...".

Por supuesto, ejemplos particularmente intrincados de talesla calculadora no se dominará, ya que hay casos en los que la solución se debe encontrar artificialmente, "por la fuerza" al introducir ciertos elementos en el proceso, porque los resultados no se pueden lograr por medios obvios. A pesar de la naturaleza controvertida de esta afirmación, es cierto, ya que las matemáticas, en principio, es una ciencia abstracta, y considera que la necesidad de ampliar los límites de las posibilidades es su tarea principal. De hecho, según las teorías de avance suave, es extremadamente difícil avanzar y desarrollarse, por lo que no debe suponer que los ejemplos de resolución de integrales indefinidas que proporcionamos son las mejores posibilidades. Pero volvamos al aspecto técnico. Al menos para verificar los cálculos, puede utilizar los servicios en los que todo estaba explicado antes que nosotros. Si hay una necesidad de cálculo automático de una expresión compleja, entonces no funcionará, tendrá que recurrir a un software más serio. Vale la pena prestar atención principalmente al entorno MatLab.

Solicitud

Resolviendo integrales indefinidas al principioEl aspecto parece estar completamente separado de la realidad, ya que es difícil ver el plano obvio de aplicación. De hecho, no pueden usarse directamente en ninguna parte, pero se consideran un elemento intermedio necesario en el proceso de derivar soluciones utilizadas en la práctica. Entonces, la integración está de vuelta en la diferenciación, debido a que participa activamente en el proceso de resolución de ecuaciones.

A su vez, estas ecuaciones tienenInfluencia directa en la solución de problemas mecánicos, el cálculo de trayectorias y la conductividad térmica; en definitiva, todo lo que constituye el presente y el futuro. La integral indefinida, ejemplos de los cuales consideramos arriba, es trivial solo a primera vista, ya que es la base para hacer descubrimientos nuevos y nuevos.