¿Cuáles son los ceros de una función y cómo definirlos?

¿Qué son ceros de una función? La respuesta es bastante simple: es un término matemático, que significa el dominio de la definición de una función dada, cuyo valor es cero. Los ceros de una función también se llaman raíces de la ecuación. La forma más fácil de aclarar qué ceros de una función son, en algunos ejemplos simples.

Ejemplos

Considere la ecuación simple y = x + 3. Como el cero de una función es el valor del argumento en el que y ha adquirido un valor cero, sustituya 0 en el lado izquierdo de la ecuación:

0 = x + 3;

x = -3.

En este caso, -3 es el cero deseado. Para esta función, solo hay una raíz de la ecuación, pero este no es siempre el caso.

Consideremos otro ejemplo:

y = x²-9.

Sustituimos 0 en el lado izquierdo de la ecuación, como en el ejemplo anterior:

0 = x²-9;

-9 = x².

Es obvio que en este caso los ceros de la función serándos: x = 3 y x = -3. Si hubiera un argumento del tercer grado en la ecuación, habría tres ceros. Uno puede sacar una conclusión simple de que el número de raíces de un polinomio corresponde al grado máximo de la ecuación en la ecuación. Sin embargo, muchas funciones, por ejemplo y = x³ , a primera vista, contradicen esta afirmación. La lógica y el sentido común sugieren que esta función tiene solo un cero en el punto x = 0. Pero, de hecho, hay tres raíces, todas coinciden. Si la ecuación se resuelve en una forma compleja, esto se vuelve obvio. x = 0 en este caso, la raíz cuya multiplicidad es 3. En el ejemplo anterior, los ceros no coincidieron, por lo tanto, tenían multiplicidad 1.

El algoritmo para determinar

A partir de los ejemplos presentados, puede ver cómo determinar los ceros de una función. El algoritmo es siempre el mismo:

Escribe una función
Sustituye y o f (x) = 0.
Resuelve la ecuación resultante.

La complejidad del último artículo depende del gradoargumento de la ecuación Al resolver ecuaciones de alto grado, es especialmente importante recordar que el número de raíces de la ecuación es igual a la potencia máxima del argumento. Esto es especialmente cierto para las ecuaciones trigonométricas, donde dividir ambas partes por un seno o coseno conduce a una pérdida de raíces.

Las ecuaciones de un grado arbitrario se resuelven más fácilmente mediante el método de Gorner, que se desarrolló específicamente para encontrar los ceros de un polinomio arbitrario.

El significado de los ceros de las funciones puede ser cualquieranegativo, y positivo, real o acostado en el plano complejo, simple o múltiple. O las raíces de la ecuación pueden no serlo. Por ejemplo, la función y = 8 no obtendrá un valor cero para ninguna x, porque no depende de esta variable.

La ecuación y = x²-16 tiene dos raíces, y ambas se encuentran en el plano complejo: x₁= 4i, x₂= -4і.

Errores comunes

Un error común que los escolares permiten, aúnrealmente no entiendo cuáles son los ceros de una función, es la sustitución del argumento (x) por cero, y no el valor (y) de la función. Seguramente se sustituyen en la ecuación x = 0 y, en función de esto, se encuentra y. Pero este es un enfoque equivocado.

Otro error, como ya se mencionó,seno o coseno en la ecuación trigonométrica, por lo que se pierden uno o más ceros de la función. Esto no significa que no se pueda reducir nada en tales ecuaciones, simplemente con cálculos adicionales es necesario tener en cuenta estos factores "perdidos".

Representación gráfica

Para entender qué son ceros de una función, puedes usarprogramas matemáticos, como Maple. En él, puede dibujar un gráfico, indicando el número deseado de puntos y la escala deseada. Los puntos en los que el gráfico se cruza con el eje OX son los ceros deseados. Esta es una de las formas más rápidas de encontrar las raíces de un polinomio, especialmente si su orden es mayor que el tercero. Entonces, si hay una necesidad de realizar cálculos matemáticos regularmente, para encontrar las raíces de polinomios de grados arbitrarios, para construir gráficos, Maple o un programa similar simplemente será indispensable para la implementación y verificación de cálculos.